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数学（二）
大纲高数五（数二） / 高数五（数一）
二重积分
直角/极坐标、交换次序、对称性
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教材定位：同济《高等数学》第七版 第十章 §1–2
前置章节：一元函数积分学、多元函数微分学
概念与性质
3 知识点 · 3 卡
二重积分的几何意义及主要性质（线性、可加、比较、估值、中值）
问答
若
f
(
x
,
y
)
在有界闭区域
D
上连续且
∬
D
f
d
σ
=
0
，则
f
≡
0
。
判断
二重积分中值定理：若
f
在有界闭区域
D
上连续，
D
面积为
σ
，则存在
(
ξ
,
η
)
∈
D
使
∬
D
f
d
σ
=
f
(
ξ
,
η
)
σ
；估值：
mσ
≤
∬
D
f
d
σ
≤
M
σ
填空
直角坐标
3 知识点 · 3 卡
X 型区域与 Y 型区域的化累次积分公式；交换积分次序的步骤
问答
必背
哪些被积函数「积不出来」，必须交换积分次序？
问答
必背
∫
0
1
d
x
∫
0
x
f
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
0
1
d
y
∫
0
y
f
(
x
,
y
)
d
x
。
判断
极坐标
3 知识点 · 4 卡
极坐标换元：
x
=
r
cos
θ
,
y
=
r
sin
θ
，
d
x
d
y
=
r
d
r
d
θ
；一般
∬
D
f
d
σ
=
∫
α
β
d
θ
∫
r
1
(
θ
)
r
2
(
θ
)
f
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
r
d
r
填空
必背
圆
x
2
+
y
2
=
2
a
x
的极坐标方程
r
=
2
a
cos
θ
，
θ
∈
[
−
2
π
,
2
π
]
；圆
x
2
+
y
2
=
2
a
y
：
r
=
2
a
sin
θ
，
θ
∈
[
0
,
π
]
填空
必背
极点在区域内部、边界上、外部三种情况下极坐标积分限怎么定？
问答
什么情况下二重积分优先选用极坐标？极坐标下面积元素与常见区域的 r 范围
问答
必背
对称性
1 知识点 · 2 卡
二重积分的奇偶对称性与轮换对称性
问答
必背
二重积分的轮换对称性是什么？举一个典型用法
问答
必背
计算技巧
5 知识点 · 5 卡
∬
x
2
+
y
2
≤
R
2
R
2
−
x
2
−
y
2
d
σ
=
3
2
π
R
3
（半球体积）；
∬
x
2
+
y
2
≤
R
2
(
x
2
+
y
2
)
d
σ
=
2
π
R
4
填空
广义极坐标（椭圆域
a
2
x
2
+
b
2
y
2
≤
1
）：
x
=
a
r
cos
θ
,
y
=
b
r
sin
θ
，
d
x
d
y
=
ab
r
d
r
d
θ
，
r
∈
[
0
,
1
]
填空
含参数区域的二重积分函数
F
(
t
)
=
∬
x
2
+
y
2
≤
t
2
f
(
x
2
+
y
2
)
d
σ
求导的步骤
步骤
二重积分中「分块」的三个常见触发条件
问答
交换二次积分次序的操作步骤
步骤
必背
应用
1 知识点 · 1 卡
二重积分的应用：面积、体积、形心（质心）
问答
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