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数学（二）
大纲高数六（数二） / 高数七（数一）
常微分方程
一阶方程、可降阶、常系数线性方程；数一含全微分方程、欧拉方程
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教材定位：同济《高等数学》第七版 第七章
前置章节：一元函数积分学
一阶方程
7 知识点 · 7 卡
可分离变量方程与齐次方程的识别与解法
问答
必背
一阶线性方程
y
′
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
的通解公式：
y
=
e
−
∫
P
d
x
(
∫
Q
e
∫
P
d
x
d
x
+
C
)
填空
必背
把含变限积分的函数方程转化为微分方程的步骤
步骤
形如
y
′
=
f
(
a
x
+
b
y
+
c
)
的方程怎么解？
问答
一阶方程识别与求解顺序
步骤
必背
常数变易法求一阶线性方程
y
′
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
通解的完整步骤
步骤
必背
一阶方程中变量代换的识别与运用：
y
′
=
f
(
a
x
+
b
y
+
c
)
型、齐次型与可化齐次型
问答
必背
可降阶方程
1 知识点 · 2 卡
三类可降阶高阶方程的降阶方法
问答
必背
三类可降阶高阶方程的形式与降阶方法
问答
必背
线性方程理论
4 知识点 · 5 卡
二阶线性微分方程解的结构（齐次、非齐次、叠加原理）
问答
必背
由已知的通解（或几个特解）反求微分方程的方法
步骤
必背
若
y
1
,
y
2
是二阶齐次线性方程的两个解，则
C
1
y
1
+
C
2
y
2
一定是该方程的通解。
判断
已知微分方程的通解（或若干特解），反求二阶常系数线性方程的步骤
步骤
由非齐次特解反求二阶常系数方程与未知项（速算核）：
若
y
′′
+
p
y
′
+
q
y
=
f
(
x
)
给出三个特解
y
1
,
y
2
,
y
3
：
① 齐次无关解由作差给出：
Y
1
=
y
1
−
y
2
，
Y
2
=
y
1
−
y
3
；
② 由特征根
r
1
,
r
2
反推特征方程
(
r
−
r
1
)
(
r
−
r
2
)
=
0
，得系数
p
=
−
(
r
1
+
r
2
)
，
q
=
r
1
r
2
；
③ 非齐次项
f
(
x
)
直接将
任一已知特解（如 y_1）
代入左端算得
填空
必背
常系数齐次
2 知识点 · 3 卡
二阶常系数齐次
y
′′
+
p
y
′
+
q
y
=
0
：特征方程与三种情形的通解
问答
必背
若
y
1
=
e
2
x
cos
3
x
是某二阶常系数齐次方程的解，则特征根为
2
±
3
i
，特征方程为
r
2
−
4
r
+
13
=
0
，方程为
y
′′
−
4
y
′
+
13
y
=
0
填空
n 阶常系数齐次线性方程：特征根与通解基本项的对应关系（含重根与复根）
问答
常系数非齐次
4 知识点 · 4 卡
f
(
x
)
=
P
m
(
x
)
e
λ
x
型的特解形式
问答
必背
f
(
x
)
=
e
λ
x
[
P
l
(
x
)
cos
ω
x
+
P
n
(
x
)
sin
ω
x
]
型的特解形式
问答
必背
求解二阶常系数非齐次线性方程的完整步骤
步骤
必背
方程
y
′′
+
y
=
sin
x
、
y
′′
−
y
=
x
e
x
、
y
′′
+
2
y
′
+
y
=
e
−
x
的特解应各设成什么形式？
问答
应用
4 知识点 · 4 卡
微分方程几何应用题的建模流程
步骤
必背
微分方程物理应用中常见的三种模型
问答
曲线
y
=
y
(
x
)
上点
(
x
,
y
)
处法线过原点
⟺
x
+
y
y
′
=
0
，解得曲线族为
x
2
+
y
2
=
C
；切线过原点
⟺
y
=
x
y
′
，曲线族为
y
=
C
x
填空
把含变限积分的函数方程（如
f
(
x
)
=
g
(
x
)
+
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
）两边求导化为微分方程后，其通解就是原方程的解。
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