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数学（二）
大纲线代四
线性方程组
解的判定、解的结构、公共解同解
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教材定位：同济《线性代数》第六版 第三、四章
前置章节：向量
齐次方程组
3 知识点 · 3 卡
齐次方程组
A
m
×
n
x
=
0
有非零解的充要条件；基础解系的定义与所含向量个数
问答
必背
A
B
=
O
蕴含什么？已知
A
x
=
0
的基础解系如何反求
A
？
问答
必背
n
元齐次方程组
A
x
=
0
的解空间维数为
n
−
r
(
A
)
；若
A
为
n
阶方阵且
r
(
A
)
=
n
−
1
，则
A
∗
x
=
0
的基础解系含
n
−
1
个解向量，且
A
的
列向量
都是
A
∗
x
=
0
的解
填空
非齐次方程组
2 知识点 · 2 卡
A
x
=
b
有解
⟺
r
(
A
)
=
r
(
A
,
b
)
；唯一解
⟺
r
(
A
)
=
r
(
A
,
b
)
=
n
；无穷多解
⟺
r
(
A
)
=
r
(
A
,
b
)
<
n
；无解
⟺
r
(
A
)
+
1
=
r
(
A
,
b
)
填空
必背
若
A
x
=
0
只有零解，则
A
x
=
b
有唯一解。
判断
解的结构
3 知识点 · 3 卡
非齐次方程组解的结构与解的性质
问答
必背
若
η
1
,
η
2
,
η
3
是
A
x
=
b
（
b
=
0
）的三个解且
r
(
A
)
=
n
−
1
，则
η
1
−
η
2
与
η
1
−
η
3
一定线性相关。
判断
设
A
为
4
×
3
矩阵，
r
(
A
)
=
2
，
η
1
,
η
2
,
η
3
为
A
x
=
b
的解，且
η
1
+
η
2
=
(
2
,
0
,
4
)
T
，
η
3
=
(
1
,
1
,
1
)
T
，求通解的思路
问答
求解方法
1 知识点 · 1 卡
用初等行变换求解线性方程组的标准步骤
步骤
必背
含参数讨论
1 知识点 · 1 卡
含参数线性方程组解的讨论的两种策略
步骤
必背
公共解与同解
2 知识点 · 2 卡
两个方程组的公共解的三种求法；同解的判定
问答
必背
若
A
x
=
0
的解都是
B
x
=
0
的解，则
r
(
A
)
≥
r
(
B
)
。
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