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数学（二）
大纲线代五
特征值与特征向量
性质、相似、对角化、实对称
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教材定位：同济《线性代数》第六版 第五章
前置章节：线性方程组
定义与求法
2 知识点 · 2 卡
A
α
=
λ
α
（
α
=
0
）；特征方程
∣
λ
E
−
A
∣
=
0
；
λ
0
对应的特征向量是
(
λ
0
E
−
A
)
x
=
0
的全部非零解
填空
必背
i
=
1
∑
n
λ
i
=
tr
A
=
∑
a
ii
，
i
=
1
∏
n
λ
i
=
∣
A
∣
填空
必背
性质
5 知识点 · 5 卡
设
A
α
=
λ
α
，写出
k
A
,
A
k
,
f
(
A
)
,
A
−
1
,
A
∗
,
A
T
,
P
−
1
A
P
的特征值与特征向量
问答
必背
关于特征向量线性无关性的三条结论
问答
必背
秩为 1 的矩阵
A
=
α
β
T
的特征值与可对角化条件
问答
必背
求特征值的几个快速技巧
问答
A
可逆
⟺
0 不是
A
的特征值
；
A
可对角化时
r
(
A
)
=
非零特征值的个数（计重数）
；一般矩阵
r
(
A
)
≥
非零特征值个数
填空
相似
4 知识点 · 5 卡
相似矩阵的定义、必要条件（相似不变量）及派生相似关系
问答
必背
若
A
∼
B
，则
A
与
B
有相同的特征向量。
判断
若
A
与对角矩阵相似，且
A
的所有特征值都相同（均为
λ
），则
A
=
λ
E
。
判断
判断两个矩阵
A
、
B
是否相似的思路
步骤
判断两个矩阵 A、B 是否相似的完整思路
步骤
必背
对角化
4 知识点 · 4 卡
矩阵可相似对角化的充要条件与充分条件
问答
必背
求可逆矩阵
P
使
P
−
1
A
P
=
Λ
的步骤
步骤
必背
已知
A
的特征值
λ
1
（
k
重）及其他信息，含参数矩阵「可对角化」条件如何转化为方程？
问答
实对称矩阵正交对角化时，不同特征值对应的特征向量也需要做施密特正交化。
判断
必背
实对称矩阵
3 知识点 · 3 卡
实对称矩阵的 4 条核心性质
问答
必背
求正交矩阵
Q
使
Q
T
A
Q
=
Λ
的步骤（
A
实对称）
步骤
必背
实对称矩阵
A
满足
A
2
=
O
，则
A
=
O
。
判断
反求矩阵
1 知识点 · 1 卡
由特征值与特征向量反求 A 的两种方法
问答
必背
特征值与特征向量
1 知识点 · 1 卡
每行（列）元素和相等的矩阵特征值与特征向量：
若
n
阶方阵
A
=
(
a
ij
)
的每一行元素之和均为常数
k
（即
j
=
1
∑
n
a
ij
=
k
对任意
i
成立）：
① 则
k
必为
A
的一个
特征值
；
② 对应的一个特征向量必为
[
1
,
1
,
…
,
1
]
T
；
③ 若每列元素之和均为
k
，则
k
必为
A
（及
A
T
）
的特征值
填空
必背
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