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数学（二）
大纲线代六
二次型
标准形、合同、惯性定理、正定
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教材定位：同济《线性代数》第六版 第五章
前置章节：特征值与特征向量
基本概念
3 知识点 · 3 卡
二次型
f
(
x
)
=
x
T
A
x
的矩阵写法规则；二次型的秩
问答
必背
形如
f
=
(
a
1
x
1
+
b
1
x
2
+
c
1
x
3
)
2
+
(
a
2
x
1
+
⋯
)
2
+
⋯
的二次型，其秩与正惯性指数怎么快速判断？
问答
二次型
f
=
x
T
A
x
（
A
实对称）的正惯性指数
=
正特征值的个数
，负惯性指数
=
负特征值的个数
，
f
的规范形完全由
(
p
,
q
)
决定
填空
合同
3 知识点 · 3 卡
合同的定义；实对称矩阵合同的充要条件；相似、合同、等价三者关系
问答
必背
若
A
∼
B
（相似），
A
,
B
均为实对称矩阵，则
A
与
B
合同。
判断
A
=
(
1
0
0
−
1
)
、
B
=
(
2
0
0
−
3
)
、
C
=
(
−
1
0
0
1
)
、
D
=
(
1
0
0
1
)
之间哪些相似、哪些合同？
问答
标准形
4 知识点 · 4 卡
标准形、规范形的定义；惯性定理
问答
必背
正交变换法化二次型为标准形的步骤
步骤
必背
配方法化二次型为标准形的步骤（含无平方项的情形）
步骤
必背
已知二次型经正交变换
x
=
Q
y
化为
f
=
a
y
1
2
+
b
y
2
2
+
c
y
3
2
，能反推出关于
A
的哪些信息？
问答
正定
5 知识点 · 5 卡
正定二次型 / 正定矩阵的定义与 6 个充要条件
步骤
必背
正定矩阵的必要条件与运算封闭性
问答
必背
A
负定
⟺
顺序主子式
奇数阶
<
0
、偶数阶
>
0
⟺
−
A
正定；
A
正定
⇒
∣
A
∣
>
0
；
f
=
x
T
A
x
在
∥
x
∥
=
1
上的最大值为
λ
m
a
x
、最小值为
λ
m
i
n
填空
若
A
的所有顺序主子式均
≥
0
，则
A
半正定。
判断
「求
t
的取值范围使二次型正定」的解题步骤
步骤
正定与最值
1 知识点 · 1 卡
实对称矩阵二次型在球面约束下的最值（Rayleigh 商定理）：
设
A
为
n
阶实对称矩阵，其特征值升序排列为
λ
1
≤
λ
2
≤
⋯
≤
λ
n
：
① 对任意非零向量
x
∈
R
n
，恒有
λ
1
x
T
x
≤
x
T
A
x
≤
λ
n
x
T
x
；
② 在单位球面约束
∥
x
∥
=
1
（即
x
T
x
=
1
）下，二次型
f
(
x
)
=
x
T
A
x
的最大值为
λ
n
，最小值为
λ
1
填空
必背
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