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数学（二）
高中衔接 · 30 讲第 1 讲前置
预备知识
三角、不等式、数列、常见曲线
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教材定位：同济《高等数学》第七版 第一章 §1
三角公式
6 知识点 · 6 卡
倍角公式：
sin
2
x
=
2
sin
x
cos
x
，
cos
2
x
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
=
1
−
2
sin
2
x
填空
必背
降幂公式：
sin
2
x
=
2
1
−
cos
2
x
，
cos
2
x
=
2
1
+
cos
2
x
填空
必背
万能公式（令
t
=
tan
2
x
）：
sin
x
=
1
+
t
2
2
t
，
cos
x
=
1
+
t
2
1
−
t
2
，
d
x
=
1
+
t
2
2
d
t
填空
平方关系：
1
+
tan
2
x
=
sec
2
x
，
1
+
cot
2
x
=
csc
2
x
填空
必背
积化和差三个公式（sin·cos，cos·cos，sin·sin）
问答
和差化积公式（sin+sin，sin−sin，cos+cos，cos−cos）
问答
反三角函数
1 知识点 · 1 卡
arcsin
x
+
arccos
x
=
2
π
，
arctan
x
+
arccot
x
=
2
π
，
arctan
x
+
arctan
x
1
=
2
π
(
x
>
0
)
填空
必背
数列求和
2 知识点 · 2 卡
k
=
1
∑
n
k
=
2
n
(
n
+
1
)
，
k
=
1
∑
n
k
2
=
6
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
，
k
=
1
∑
n
k
3
=
[
2
n
(
n
+
1
)
]
2
填空
等比数列前
n
项和（
q
=
1
）：
k
=
0
∑
n
−
1
a
q
k
=
1
−
q
a
(
1
−
q
n
)
；
∣
q
∣
<
1
时
k
=
0
∑
∞
a
q
k
=
1
−
q
a
填空
代数恒等式
2 知识点 · 2 卡
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
⋯
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
填空
双阶乘：
(
2
n
)!!
=
2
n
n
!
，
(
2
n
−
1
)!!
=
2
n
n
!
(
2
n
)!
填空
重要不等式
1 知识点 · 2 卡
考研常用 6 个基本不等式（回忆核心放缩结构）：
三角放缩（
0
<
x
<
2
π
）：
sin
x
<
x
<
tan
x
对数放缩（
x
>
0
）：
1
+
x
x
<
ln
(
1
+
x
)
<
x
指数放缩（
x
∈
R
）：
e
x
≥
1
+
x
（
x
=
0
取等，对应
ln
x
≤
x
−
1
）
反三角放缩（
0
≤
x
<
1
）：
arctan
x
≤
x
≤
arcsin
x
绝对值三角不等式：
∣
a
∣
−
∣
b
∣
≤
∣
a
±
b
∣
≤
∣
a
∣
+
∣
b
∣
均值不等式（
a
,
b
>
0
）：
ab
≤
2
a
+
b
≤
2
a
2
+
b
2
填空
必背
常用不等式：当
x
>
0
时
1
+
x
x
<
ln
(
1
+
x
)
<
x
；当
0
<
x
<
2
π
时
π
2
x
<
sin
x
<
x
；对任意
x
，
e
x
≥
1
+
x
填空
初等函数
1 知识点 · 1 卡
双曲函数：
sinh
x
=
2
e
x
−
e
−
x
，
cosh
x
=
2
e
x
+
e
−
x
，
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
，
(
sinh
x
)
′
=
cosh
x
填空
待确认 · 不进队列
常见曲线
1 知识点 · 3 卡
写出下列曲线的方程：心形线、双纽线、阿基米德螺线、摆线、星形线
问答
必背
极坐标下三条必背曲线：心形线、双纽线、阿基米德螺线的方程与图形特征
问答
摆线、星形线的参数方程及一拱/一周的弧长、面积
问答
几何公式
1 知识点 · 1 卡
球体积
3
4
π
R
3
，球面积
4
π
R
2
，椭圆面积
π
ab
，扇形面积
2
1
r
2
θ
，圆锥体积
3
1
π
r
2
h
填空
函数性质
4 知识点 · 4 卡
奇偶函数的运算规律；任一函数如何拆成奇函数与偶函数之和？
问答
若
f
(
x
)
以
T
为周期，则
f
(
a
x
+
b
)
(
a
=
0
)
的周期为
∣
a
∣
T
；周期函数的导函数
仍是周期函数
，但原函数
不一定
是周期函数
填空
反函数的图像关系与求导公式
问答
奇偶性、周期性的常见推论：导数与原函数的奇偶性、周期性如何传递？
问答
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